什么是数学的程序流畅性?

想象一下，你一生都梦想着经营一家书店，终于能够开张了。你有满满一店的叙事散文，科幻小说，历史纪实以及你能想到的各种类型的书，顾客们从世界各地赶来购买。

然而，你的生活将充满比书籍更多的东西。把销售收入加起来，核对一下收银机里的余额。清点售出的书籍并与库存进行比较。计算电费、Wi-Fi和其他账单，确保你的企业保持净利润。谁知道书里会有这么多数学?

所有这些任务——增加销售额、清点账簿、计算利润——都是对数学流畅性的需求在现实世界中体现出来的例子。即使你知道如何要进行计算，要能够准确有效地进行计算，就需要流畅性。毕竟，在某些时候，你不想把商店锁起来回家吗?

程序流畅性定义

根据全国数学教师委员会程序流畅性是指有效、灵活、准确地运用程序的能力;将程序转移到不同的问题和背景中;从其他程序中建立或修改程序;并认识到什么时候一种策略或程序比另一种更合适。”

什么是数学的程序流畅性?

流利的可以追溯到它的拉丁词根来流和指的是思考流动的思想。每个会说一门语言的人都能感觉到流利地说一门语言意味着什么。数学和语言并不完全相同，但它们有着惊人的共同点。一个例子是，一个人可以在数学中思考流动的思想，任何数学流利的成年人都可以证明这一点。

总的来说，程序流畅性是不通过完成快速的、相关的算术问题的工作表，并尽可能快地解决这些问题而获得。速度是流利的一个方面，但程序流利也有其他方面，如准确性、便利性和灵活性，可以通过许多策略来发展。为了让学生流利地掌握加法或乘法等数学概念，学生应该探究为什么这个概念是正确的，以及它如何有用。

概念理解vs.程序流畅

据NCTM报道，“每个学生都必须有机会获得将概念与程序联系起来的教学。”达到流利需要发展概念的理解也学生不可能流利地说他们不懂的东西。通过这种方式，程序流畅性与数字感密切相关。在NCTM的开创性出版物中行动原则:确保所有人的数学成功，作者澄清说，程序流畅性涉及学生“在解决上下文和数学问题时熟练灵活地使用程序”。

在进入下一个数学概念之前，一个人必须掌握一个概念是不正确的。对这个神话的信仰和坚持也许是“数学的战争，如果不是早在18世纪，至少从20世纪50年代起，它就已经成为数学教育的一部分。传统主义者认为，要想学习高等数学，必须掌握数学知识，而反对这一观点的人则鼓励学生去探究和探索，不管他们目前掌握了什么。

总的来说，现实情况是程序流畅性是复杂的，这两种观点不是“非此即彼”，而是“两者兼而有之”。的确，算术不流利会使高等数学概念变得更加困难。想象一下，在不熟悉基本的加法和乘法的情况下，试图简化一个充满变量、括号和指数的分数!然而，一个在计算6 × 3时停顿的学生仍然可以用6的指数对一个表达式进行立方的概念。事实上，正面参与问题是建立乘法流畅性的一步。

从其他学科中想出一个类比可能会有所帮助。即使一个学生在学习一些六年级的词汇时遇到困难，他仍然可以被鼓励去学习六年级的课文。或者，如果一个学生不确定将红色和黄色颜料混合在一起会产生什么颜色，他仍然可以将颜料混合在一起并用它来创作艺术。为什么因为学生还没有记住具体的事实，就禁止他们完成解决问题的任务呢?

通过年级的程序流畅性

程序可以像识别数字一样简单，也可以像将复杂的算法应用于数学表达式一样高级。程序流畅性的某些方面是通用的。在解决问题的过程中，流利的学习者能够很好地估计和评估答案的合理性。然而，程序流畅性的其他方面取决于学习者的数学发展。当学生在数学教育上取得进步时，老师会考虑一些关键的基准。

成绩K-2

对于小孩子来说，程序流畅性和数字感是一样的。老师花一整年的时间只教数字1到10是很常见的，因为学生通常太小，对数量没有可靠的认识。重点是识别数字并开始理解数字的含义。孩子们将经常练习点图像，并努力理解构成和分解数字的含义。

三年级

孩子们的发展各不相同，但三年级通常是学生开始学习乘法的时候。这是计算灵活性的起点，因为学生不仅要组合和分解数字，还要进行加、减和操作。背诵乘法知识不需要成为大多数学生教学的主要部分;相反，重点应该放在理解什么是乘法以及乘法的策略上。

成绩6 - 7

在这些年级期间，通常会有一个转变，即更深入的数学概念，如方程式和比率的正式探索。如果学生还不能熟练掌握基本的算术，这些思想就很难运用。学生们也在培养非算术运算的流畅性，比如使用分配律或二项式乘法。

如何教授程序流畅性

程序流畅性需要大量的开发，最好在定时测试之外完成。关键是让学生在不同的数学问题的背景下练习程序。学生应该有空间与同学和老师讨论他们的想法，并理解为什么需要特定的计算来解决问题。

举例来说，学生通常通过完成“6 × 3”和“2 × 7”这样的定时习题来练习熟练的乘法。然而，让学生练习同样的事实的更有效的方法是让他们深入到这样的问题中:“你刚刚买了18英尺的篱笆来为你的兔子建一个矩形的围栏。用它搭一个什么样的矩形最合适?”长期目标应该是让数学事实和程序“固定到位”。这种肌肉记忆是不能强求的，它的自动性必须通过有策略的练习来建立。

数学例子的程序流畅性

根据大学和职业准备评估伙伴关系(PARCC)流利并不意味着以理解为代价，而是不断学习和充分深思熟虑练习的结果。正如这篇文章所阐述的，程序流畅性是微妙的，比知道你的时间表要重要得多。举个例子，68 × 5的乘法有很多方法:

• 把60 × 5和8 × 5相乘，然后相加。
• 用70 × 5和2 × 5相乘，然后相减它们的总和。
• 用68乘以10，然后把总和分成两半。
• 将68改写为4 × 17，然后乘以(4 × 5) × 17。

程序流畅性既指选择适当策略的能力，也指正确执行计算的技能。NCTM澄清“灵活性是流利的主要目标，因为解决一个问题的好策略可能对另一个问题同样有效，也可能无效。”

我们的到数学程序有干预反应资源，包括Tier 2技能课程。这些课程在概念理解和程序流畅性之间架起桥梁，使各个水平的学生都能练习和更深入地理解不同的技能。请随意使用这些免费的6年级技能练习课程部门和分数乘法。在这两种情况下，这种技能都被分解成任务，让学生参与数学绘图、对不同程序的直接指导、对推理的反思和实践问题。

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一个可以帮助学生培养程序流畅性的概念是分布式练习。这是研究以几天、几周或几个月为间隔进行数学练习的原则，比连续重复练习同样的方法能产生更深入、更持久的学习效果。代替单调乏味的事实流畅性工作表，使用简短的工作表，策略性地在整个学年完成。

我们的课程到数学课程以螺旋复习问题结束，这些问题有助于确定学生是否记住了过去教过的信息。这些问题建立并加强了不同程序的流畅性。的螺旋复习问题下面是七年级的一节课，让学生计算百分比加成和解决多步加减法问题。

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